Sviluppo di (2x-3) alla quinta

Testo

Sviluppare $(2x-3)^5$ con il binomio di Newton.

Soluzione

Applichiamo $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ con $a=2x$, $b=-3$, $n=5$; i coefficienti $\binom{5}{k}$ sono $1,5,10,10,5,1$ (riga del triangolo di Tartaglia).

(2x-3)^5 &= (2x)^5 + 5(2x)^4(-3) + 10(2x)^3(-3)^2 \\ &\quad + 10(2x)^2(-3)^3 + 5(2x)(-3)^4 + (-3)^5 \\[4pt] &= \boxed{32x^5 - 240x^4 + 720x^3 - 1080x^2 + 810x - 243} \end{aligned}$$

Collegamenti

Argomenti: Combinatoria
Concetti: Binomio di newton · Coefficiente binomiale
Metodi: Binomio newton
Competenze: Calcolo combinatorio · Usare formule
Persone: Isaac Newton
Tipo di esercizio: Problema combinatorio