Disequazioni con valore assoluto e radici

Quando in una disequazione goniometrica compaiono anche valori assoluti o radici quadrate, non serve un metodo nuovo: si applicano le stesse tecniche già viste in Terza, con la sola differenza che i segni di seno, coseno e tangente si studiano sulla circonferenza.

Osservazione — Ripasso dalla Terza

Quando in una disequazione goniometrica compaiono anche valori assoluti o radici quadrate, si applicano gli stessi metodi visti nel Capitolo 18 (Disequazioni irrazionali) della Terza: sdoppiamento dei casi per il valore assoluto, e gestione dei due tipi $\sqrt{A(x)}\le B(x)$ (sistema a tre condizioni) e $\sqrt{A(x)}\ge B(x)$ (unione di due casi). Il fatto che $A,B$ contengano funzioni goniometriche non cambia il metodo: i segni di seno, coseno, tangente si studiano sulla circonferenza.

Esempio — Disequazione goniometrica con valore assoluto

Risolvere $|\sin x| \le \dfrac{1}{2}$ in $[0,2\pi)$.

È la disequazione $|A| \le k$ con $k>0$, che equivale a $-\dfrac{1}{2} \le \sin x \le \dfrac{1}{2}$: un sistema di due disequazioni elementari.

• $\sin x \le \dfrac{1}{2}$ in $\left[0,\dfrac{\pi}{6}\right]\cup\left[\dfrac{5\pi}{6},2\pi\right)$;
• $\sin x \ge -\dfrac{1}{2}$ in $\left[0,\dfrac{7\pi}{6}\right]\cup\left[\dfrac{11\pi}{6},2\pi\right)$.

Intersecando le due condizioni: $\left[0,\frac{\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{11\pi}{6},2\pi\right)$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni goniometriche
Concetti: Disequazione goniometrica · Disequazione irrazionale · Studio del segno · Valore assoluto
Funzioni: Seno
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni