Definizione e metodo di risoluzione

Le equazioni omogenee di secondo grado in $\sin$ e $\cos$ si riconoscono perché ogni monomio ha lo stesso grado. Il metodo di risoluzione le trasforma in un’equazione di secondo grado in $\tan x$.

Definizione — Equazione omogenea di secondo grado

Un’equazione goniometrica si dice omogenea di secondo grado in $\sin$ e $\cos$ se è del tipo $A\sin^2 x + B\sin x\cos x + C\cos^2 x = 0.$ Tutti i monomi hanno lo stesso grado totale in $\sin$ e $\cos$: due.

In sintesi — Metodo di risoluzione

1. Controllare se $\cos x = 0$ è soluzione, sostituendo $x=\pi/2+k\pi$ direttamente.
2. Dividere l’equazione per $\cos^2 x$ (possibile perché il caso $\cos x = 0$ è già stato gestito): $A\tan^2 x + B\tan x + C = 0.$
3. Porre $t = \tan x$ e risolvere un’equazione di secondo grado in $t$.
4. Tornare a $x$ con $x = \arctan t + k\pi$.

Esempio

Risolvere $\sin^2 x - 3\sin x\cos x + 2\cos^2 x = 0$.

Caso $\cos x = 0$: sostituendo $x=\pi/2$ si ottiene $1 - 0 + 0 = 1\ne 0$. Non è soluzione.

Dividiamo per $\cos^2 x$: $\tan^2 x - 3\tan x + 2 = 0.$ Con $t=\tan x$: $\ t^2 - 3t + 2 = 0 \iff (t-1)(t-2) = 0 \iff t=1 \ \vee\ t=2$.

Ritorno a $x$: $\ x = \arctan 1 + k\pi = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$, oppure $x = \arctan 2 + k\pi$.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni goniometriche
Concetti: Equazione goniometrica · Equazione omogenea
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Metodi: Goniometriche equazioni
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere equazioni · Usare formule