Metodo delle formule parametriche

Il primo metodo per risolvere un’equazione lineare $a\sin x + b\cos x + c = 0$ usa le formule parametriche, che esprimono $\sin x$ e $\cos x$ in funzione di $t = \tan(x/2)$. In questo modo l’equazione diventa razionale in $t$.

In sintesi — Procedimento parametrico

1. Porre $t = \tan(x/2)$.
2. Sostituire $\sin x = \dfrac{2t}{1+t^2}$ e $\cos x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$.
3. Moltiplicare per $1+t^2$ (sempre positivo) per eliminare il denominatore.
4. Risolvere l’equazione razionale (di solito di secondo grado) in $t$.
5. Per ogni soluzione $t$, trovare $x = 2\arctan t + 2k\pi$.
6. Verificare a parte se $x=\pi$ (cioè $x/2=\pi/2$, dove $\tan$ non esiste) è soluzione dell’equazione originale, sostituendo direttamente.

Esempio

Risolvere $\sqrt{3}\sin x + \cos x + 1 = 0$ con il metodo parametrico.

Sostituzione: $\sqrt{3}\cdot\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} + 1 = 0 \iff \frac{2\sqrt{3}\,t + 1 - t^2 + 1 + t^2}{1+t^2} = 0$ $\iff 2\sqrt{3}\,t + 2 = 0 \iff t = -\frac{1}{\sqrt{3}}.$

Ritorno a $x$: $\tan(x/2) = -1/\sqrt{3}$, da cui $x/2 = -\pi/6 + k\pi$, cioè $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$.

Verifica del caso $x=\pi$: $\sqrt{3}\sin\pi + \cos\pi + 1 = 0 + (-1) + 1 = 0$. ✓ È anch’essa soluzione.

Soluzione finale: $\ x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \ \vee\ x = \pi + 2k\pi$.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni goniometriche
Concetti: Equazione lineare goniometrica · Formule parametriche · Sostituzione
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Metodi: Goniometriche equazioni
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