Equazioni risolubili per sostituzione

Se in un’equazione compare solo $\sin x$ (oppure solo $\cos x$, o solo $\tan x$), ma con potenze o in una combinazione non lineare, la strategia è sostituire una variabile al posto della funzione goniometrica, risolvere l’equazione algebrica risultante e poi tornare all’angolo. Quando l’equazione contiene funzioni di angoli diversi (per esempio $\cos(2x)$ e $\cos x$), si usano prima le formule goniometriche — come le formule di duplicazione — per ridurre tutto a una sola funzione.

Esempio

Risolvere $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$.

Sostituzione: $t = \sin x$, con $-1\le t\le 1$. L’equazione diventa $2t^2 - 3t + 1 = 0 \iff (2t-1)(t-1) = 0 \iff t = \tfrac{1}{2} \ \vee\ t = 1.$ Entrambe le soluzioni soddisfano $-1\le t\le 1$, quindi sono accettabili.

Ritorno a $x$:

• $\sin x = \tfrac{1}{2}$: $\ x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ oppure $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$;
• $\sin x = 1$: $\ x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$.

Esempio

Risolvere $\cos(2x) + \cos x = 0$.

Applichiamo la formula di duplicazione $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$: $2\cos^2 x - 1 + \cos x = 0.$ Con $t=\cos x$, $-1\le t\le 1$: $2t^2 + t - 1 = 0 \iff (2t-1)(t+1) = 0 \iff t = \tfrac{1}{2} \ \vee\ t = -1.$

Ritorno a $x$:

• $\cos x = \tfrac{1}{2}$: $\ x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$;
• $\cos x = -1$: $\ x = \pi + 2k\pi$.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni goniometriche
Concetti: Equazione goniometrica · Formule di duplicazione · Sostituzione
Funzioni: Coseno · Seno
Metodi: Goniometriche equazioni
Competenze: Risolvere equazioni · Usare formule