Equazione con prostaferesi

Testo

Risolvere l’equazione $\sin(3x) = \sin x$ usando le formule di prostaferesi.

Soluzione

Portiamo tutto a primo membro e applichiamo la prostaferesi $\sin p - \sin q = 2\cos\!\tfrac{p+q}{2}\sin\!\tfrac{p-q}{2}$ con $p=3x$ e $q=x$: $\sin(3x) - \sin x = 2\cos(2x)\sin x = 0.$ Per la legge di annullamento del prodotto l’equazione si spezza in due: $\cos(2x) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x = \tfrac{\pi}{2}+k\pi \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{\pi}{4}+k\tfrac{\pi}{2};$ $\sin x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = k\pi.$ Le soluzioni sono dunque $\boxed{x = \tfrac{\pi}{4}+k\tfrac{\pi}{2}\ \lor\ x = k\pi}$, con $k\in\mathbb{Z}$.

Collegamenti

Argomenti: Prostaferesi werner
Concetti: Formule di prostaferesi · Legge di annullamento del prodotto
Funzioni: Coseno · Seno
Metodi: Formule prostaferesi
Competenze: Risolvere equazioni · Scomporre
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione