Abbassare il grado: formule di linearizzazione

Osservazione — Utilità delle diverse forme del coseno

Le formule $\cos(2\alpha) = 1-2\sin^2\alpha$ e $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$ hanno un’applicazione cruciale: permettono di abbassare il grado di $\sin^2$ e $\cos^2$, esprimendoli in funzione di $\cos(2\alpha)$: $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2},\qquad \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}.$ Queste due formule sono note anche come formule di linearizzazione: trasformano un prodotto (o una potenza) di seni e coseni in una somma, utile per integrare e per semplificare le identità goniometriche.

Ricavarle è immediato: basta isolare $\sin^2\alpha$ nella prima forma e $\cos^2\alpha$ nella terza forma delle formule di duplicazione del coseno. Il vantaggio è che un termine di secondo grado in $\sin$ o $\cos$ viene sostituito da un termine di primo grado in $\cos(2\alpha)$, molto più facile da manipolare.

Collegamenti

Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Formule di duplicazione · Formule di linearizzazione
Funzioni: Coseno · Seno
Metodi: Formule duplicazione
Competenze: Usare formule