Da cartesiana a polare di una circonferenza

Testo

Mostrare che l’equazione cartesiana $x^2+y^2-4y = 0$ in coordinate polari diventa $\rho = 4\sin\theta$. Interpretare geometricamente.

Soluzione

Sostituiamo $x^2+y^2 = \rho^2$ e $y = \rho\sin\theta$: $\rho^2 - 4\rho\sin\theta = 0 \;\Rightarrow\; \rho(\rho - 4\sin\theta) = 0.$ Escludendo il polo $\rho=0$ resta $\boxed{\rho = 4\sin\theta}$. Geometricamente, completando il quadrato nell’equazione cartesiana: $x^2 + (y-2)^2 = 4$. È la circonferenza di centro $(0,2)$ e raggio $2$, passante per l’origine.

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Coordinate polari · Equazione polare · Piano cartesiano
Metodi: Equazione polare
Competenze: Interpretare grafico · Usare formule
Tipo di esercizio: Dimostrazione