Perché servono le funzioni inverse

Seno, coseno e tangente non sono iniettive su tutto il loro dominio (sono periodiche), quindi non hanno inverse nel senso stretto. Per definirne un’inversa bisogna restringerle a un intervallo su cui siano iniettive.

Definizione — Le funzioni goniometriche inverse

• Restringendo $\sin$ a $\left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$ si ottiene una funzione biunivoca con $[-1,1]$. La sua inversa è $\arcsin:[-1,1]\to\left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$.
• Restringendo $\cos$ a $[0,\pi]$ si ottiene una funzione biunivoca con $[-1,1]$. La sua inversa è $\arccos:[-1,1]\to[0,\pi]$.
• Restringendo $\tan$ a $\left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)$ si ottiene una funzione biunivoca con $\mathbb{R}$. La sua inversa è $\arctan:\mathbb{R}\to\left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)$.

Ciascuna inversa restituisce l’angolo (nell’intervallo scelto) il cui seno, coseno o tangente vale il numero dato.

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Argomenti: Goniometria
Concetti: Arcocoseno · Arcoseno · Arcotangente · Funzione inversa · Iniettivita
Funzioni: Arcocoseno · Arcoseno · Arcotangente · Funzioni goniometriche inverse