Disequazione logaritmica

Testo

Risolvi la disequazione: $\log_2(x+1) + \log_2(x-1) \le 3$

Soluzione

Riconoscere la strategia. Somma di logaritmi nella stessa base: si uniscono in un solo logaritmo, poi si sfrutta la monotonia (base $2>1$, funzione crescente, verso conservato), senza mai dimenticare le condizioni di esistenza. Condizioni di esistenza: $x+1>0$ e $x-1>0$, quindi $x>1$. Unione dei logaritmi: $\log_2\bigl[(x+1)(x-1)\bigr] \le 3$ Monotonia (base $>1$, si applica $t\mapsto 2^t$ conservando il verso): $(x+1)(x-1) \le 2^3 \;\Longrightarrow\; x^2 - 1 \le 8 \;\Longrightarrow\; x^2 \le 9 \;\Longrightarrow\; -3 \le x \le 3$ Intersezione con la CE $x>1$: $\boxed{1 < x \le 3}$

Collegamenti

Argomenti: Metodi unificanti
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione logaritmica · Funzione monotona
Funzioni: Funzione logaritmica
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione