Idea 2: applicazione di una funzione iniettiva

Data un’equazione $f(x) = g(x)$, possiamo applicare a entrambi i membri una funzione iniettiva (cioè “invertibile”) senza perdere né aggiungere soluzioni. È l’idea che sta dietro a tante mosse che durante l’anno abbiamo imparato “a memoria”: elevare al quadrato, elevare al cubo, togliere gli esponenziali o i logaritmi.

In sintesi — Esempi di funzioni iniettive usate nell'anno

• $t\mapsto t^2$ è iniettiva su $[0,+\infty)$: se entrambi i membri sono $\ge 0$, si può elevare al quadrato conservando le soluzioni.
• $t\mapsto t^3$ è iniettiva su tutto $\mathbb{R}$: si può sempre elevare al cubo, senza dover distinguere casi.
• $t\mapsto a^t$ (esponenziale) è iniettiva su $\mathbb{R}$: se $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, allora $f(x) = g(x)$.
• $t\mapsto \log_a t$ (logaritmo) è iniettivo su $(0,+\infty)$: se $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ e $f,g>0$, allora $f(x) = g(x)$.

Osservazione

Questa idea spiega a colpo d’occhio perché possiamo “togliere” i logaritmi o le basi esponenziali quando compaiono a entrambi i membri. È la stessa idea, vestita diversamente.

Collegamenti

Argomenti: Metodi unificanti
Concetti: Equazione esponenziale · Equazione irrazionale · Equazione logaritmica · Funzione iniettiva
Funzioni: Funzione esponenziale · Funzione logaritmica
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere equazioni