Casi base con base minore di 1

Anche per il logaritmo, base minore di $1$ implica verso invertito (e l’argomento deve restare $>0$). I cinque esempi seguenti coprono i casi standard.

Esempio — $\log_{1/3}(x+1)\le 2$

CE: $x+1>0\iff x>-1$. Riscrivo $2=\log_{1/3}(1/9)$: $\log_{1/3}(x+1)\le\log_{1/3}(1/9).$ Base $<1$, verso invertito: $x+1\ge 1/9 \iff x\ge -8/9$. Intersezione con CE: $\boxed{x\ge -8/9}$.

Esempio — Base decimale $1/10$

$\log_{1/10}(2x-3)>-1$. CE: $2x-3>0\iff x>3/2$. Con $-1=\log_{1/10}(10)$: $\log_{1/10}(2x-3)>\log_{1/10}(10) \iff 2x-3<10 \iff x<13/2.$ Intersezione: $\boxed{3/2<x<13/2}$.

Esempio — Sostituzione con base $<1$

$(\log_{1/2}x)^2 - 3\log_{1/2}x + 2 \ge 0$. Pongo $t=\log_{1/2}x$ (con CE $x>0$): $t^2-3t+2\ge 0 \iff t\le 1 \vee t\ge 2.$ Torno a $x$:

• $\log_{1/2}x\le 1 \iff x\ge 1/2$ (verso invertito, base $<1$);
• $\log_{1/2}x\ge 2 \iff x\le 1/4$ (verso invertito).

Insieme con CE ($x>0$): $\boxed{0<x\le 1/4 \vee x\ge 1/2}$.

Esempio — Confronto di due log base $<1$

$\log_{1/4}(x-2)>\log_{1/4}(3x-7)$. CE: $x-2>0$ e $3x-7>0\iff x>7/3$. Base $<1$, verso invertito: $x-2<3x-7 \iff 5<2x \iff x>5/2$. Intersezione con CE: $\boxed{x>5/2}$.

Esempio — Confronto a $0$

$\log_{0,5}(x^2-4)>0$. CE: $x^2-4>0\iff x<-2\vee x>2$. Con $0=\log_{0,5}1$, base $<1$, verso invertito: $x^2-4<1 \iff x^2<5\iff -\sqrt{5}<x<\sqrt{5}$. Intersezione con CE: $\boxed{-\sqrt{5}<x<-2 \vee 2<x<\sqrt{5}}$.

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazioni logaritmiche · Logaritmo
Funzioni: Funzione logaritmica
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni