Esempi di equazioni esponenziali

Vediamo all’opera i primi due metodi: la riduzione alla stessa base e la sostituzione.

Esempio — Stessa base

Risolvere $2^{x+1} = 8^{x-1}$.

Poiché $8 = 2^3$, si ha $8^{x-1} = 2^{3(x-1)} = 2^{3x-3}$. Per iniettività dell’esponenziale: $x + 1 = 3x - 3 \iff -2x = -4 \iff x = 2.$

Esempio — Sostituzione

Risolvere $4^x - 3\cdot 2^x + 2 = 0$.

Osserviamo che $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Ponendo $t = 2^x$ con $t > 0$: $t^2 - 3t + 2 = 0 \iff (t-1)(t-2) = 0 \iff t = 1 \ \vee\ t = 2.$ Entrambe le soluzioni sono positive, quindi accettabili. Tornando a $x$:

• $2^x = 1 = 2^0 \implies x = 0$;
• $2^x = 2 = 2^1 \implies x = 1$.

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Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Iniettivita
Funzioni: Funzione esponenziale
Metodi: Esponenziale equazioni
Competenze: Risolvere equazioni