Continuità della parte intera

Testo

La funzione “parte intera” $\lfloor x\rfloor$ è definita a tratti (su ogni $[n,n+1)$ vale $n$): è continua? In quali punti ha salti?

Soluzione

Su ogni intervallo $[n,n+1)$ la funzione è costante e vale $n$, quindi è continua all’interno di ciascun tratto. I problemi sorgono ai confini, cioè in corrispondenza di ogni numero intero $n$: $\lim_{x\to n^-}\lfloor x\rfloor = n-1, \qquad \lfloor n\rfloor = n, \qquad \lim_{x\to n^+}\lfloor x\rfloor = n.$ Il limite sinistro ($n-1$) non coincide con il valore ($n$): c’è un salto di altezza $1$ in ogni intero.

Conclusione: $\lfloor x\rfloor$ è continua in tutti i punti non interi e presenta un salto in ogni punto di $\mathbb{Z}$ (funzione “a gradini”).

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Continuita · Funzione definita a tratti · Parte intera
Funzioni: Parte intera
Competenze: Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Studio di funzione