Parametri per la continuità

Testo

Determinare $a,b$ tali che $f(x)=\begin{cases} ax+1 & x\le 0 \\ b\sin x & 0<x<\pi/2 \\ 2 & x\ge\pi/2\end{cases}$ sia continua su $\mathbb{R}$.

Soluzione

Si impone la continuità nei due punti di raccordo $x=0$ e $x=\pi/2$.

Raccordo in $x=\pi/2$: da sinistra $\lim_{x\to(\pi/2)^-} b\sin x = b\sin\tfrac{\pi}{2}=b$; il tratto destro vale $2$. Continuità $\iff b=2$.

Raccordo in $x=0$: il tratto sinistro dà $f(0)=a\cdot 0+1=1$; da destra $\lim_{x\to 0^+} b\sin x = b\cdot 0 = 0$. La continuità richiederebbe $1=0$, impossibile per ogni valore di $a$: il valore in $0$ è sempre $1$, mentre il tratto sinusoidale parte da $0$.

Conclusione: con $b=2$ la funzione è continua in $\pi/2$, ma in $x=0$ resta un salto di altezza $1$: non esiste alcuna coppia $(a,b)$ che renda $f$ continua su tutto $\mathbb{R}$. Il parametro $a$ regola solo la pendenza del primo tratto, non il suo valore in $0$.

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Continuita · Funzione definita a tratti
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Studio di funzione