Continuità nei punti di raccordo

Sui tratti aperti $I_k$ la funzione eredita la continuità della formula $f_k$. Nei punti di raccordo tra due tratti vicini bisogna controllare a mano che i due valori coincidano: se nel punto $x_0$ di confine tra $I_k$ e $I_{k+1}$ si ha

$\lim_{x\to x_0^-}f_k(x) = f(x_0) = \lim_{x\to x_0^+}f_{k+1}(x),$

la funzione è continua in $x_0$; altrimenti presenta un salto.

Esempio — Determinare un parametro per avere continuità

$f(x)=\begin{cases} 2x+a & x\le 1 \\ x^2 & x>1\end{cases}$. Per quale $a$ la funzione è continua in $x=1$?

A sinistra $\lim_{x\to 1^-}(2x+a)=2+a$; a destra $\lim_{x\to 1^+}x^2=1$; continuità $\iff 2+a=1\iff \boxed{a=-1}$.

Esempio — Intersezione con una retta

Trovare i punti di $f(x)=\begin{cases} -x+1 & x<0 \\ x^2 & x\ge 0\end{cases}$ che soddisfano $y=1$.

Su $x<0$: $-x+1=1 \iff x=0$, fuori intervallo $\to$ scartato. Su $x\ge 0$: $x^2=1 \iff x=1$ ($x=-1$ fuori). Punto $(1,1)$.

Inoltre il tratto $x<0$ ha limite a destra in $0$: $\lim_{x\to 0^-}(-x+1)=1$ — il valore $1$ è “avvicinato” da sinistra senza essere raggiunto. Importante leggere il dominio del tratto.

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Continuita · Funzione definita a tratti
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere equazioni