Riconoscere le somme sempre non negative

C’è una famiglia di disequazioni che, una volta riconosciute, si risolvono “a vista”, senza fare alcun calcolo: quelle in cui il primo membro è una somma di quantità che non possono mai essere negative. Una somma di radicali, o di valori assoluti, o di quadrati: ognuno di questi addendi è per costruzione $\ge 0$ e quindi anche la loro somma lo è.

Proprietà — Somme sempre non negative

Entro le proprie CE:

• $\sqrt{A(x)} + \sqrt{C(x)}$ è sempre $\ge 0$;
• $\sqrt{A(x)} + |C(x)|$ è sempre $\ge 0$;
• $|A(x)| + |C(x)|$ è sempre $\ge 0$;
• una somma di quadrati $\bigl(P(x)\bigr)^2 + \bigl(Q(x)\bigr)^2$ è sempre $\ge 0$;
• una distanza (punto–punto o punto–retta) è sempre $\ge 0$.

Di conseguenza, ogni disequazione della forma $\underbrace{\sqrt{A(x)}+\sqrt{C(x)}}_{\text{o analoga}} \ge 0$ ha come soluzione le sole CE; la stessa disequazione con $<0$ (stretta) è impossibile (al massimo può avere soluzione “isolata” nei punti in cui tutti gli addendi sono simultaneamente zero).

Esempio — Tre disequazioni "a vista"

$\sqrt{x} + \sqrt{x-1}\ge 0$. CE: $x\ge 0$ e $x\ge 1$, cioè $x\ge 1$. La disequazione è sempre vera entro le CE, quindi la soluzione è $\boxed{\,x\ge 1\,}$.

$|x|+|x-1|<0$. È una somma di due valori assoluti, sempre $\ge 0$. Non c’è alcun $x$ per cui sia strettamente $<0$: nessuna soluzione.

$\sqrt{x}+\sqrt{x^2-x}\le 0$. È una somma di due radicali, $\ge 0$ entro le CE. Può valere zero solo se entrambi gli addendi sono zero simultaneamente: $x=0$ e ($x=0 \vee x=1$). Unico valore accettabile: $\boxed{\,x=0\,}$. Se la disequazione fosse stretta ($<0$), non ci sarebbero soluzioni.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale · Valore assoluto
Metodi: Scorciatoia membri non negativi
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni