Il metodo per la radice maggiore — Tipologia II

Consideriamo ora il caso opposto: $\sqrt{A(x)}\ge B(x).$

Il primo membro, quando esiste, è $\ge 0$; il secondo membro può essere positivo o negativo. Distinguiamo.

• Caso 1: $B(x)<0$. Una quantità non negativa è automaticamente $\ge$ di una negativa, quindi la disequazione è sempre verificata all’interno delle CE. L’unica condizione che resta è $A(x)\ge 0$.
• Caso 2: $B(x)\ge 0$. Entrambi i membri sono ora non negativi: possiamo elevare al quadrato conservando il verso, ottenendo $A(x)\ge (B(x))^2$. La CE $A(x)\ge 0$ è in realtà implicata da quest’ultima (se $A\ge B^2\ge 0$), ma la lasciamo esplicita per chiarezza.

La soluzione finale è l’unione delle soluzioni dei due casi.

In sintesi — Metodo per $\sqrt{A(x)}\ge B(x)$

$\underbrace{\begin{cases}A(x)\ge 0 \\ B(x)<0\end{cases}}_{\text{Caso 1}} \quad\cup\quad \underbrace{\begin{cases}A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \\ A(x)\ge \bigl(B(x)\bigr)^2\end{cases}}_{\text{Caso 2}}$

Il diagramma seguente riassume la struttura del metodo: dalla disequazione di partenza si diramano i due casi, e le loro soluzioni si riuniscono in un’unione.

La struttura del metodo per $\sqrt{A(x)}\ge B(x)$: due casi che si riuniscono in un’unione.

Attenzione — L'errore più comune

È facile dimenticare il Caso 1 e risolvere solo il Caso 2: si perdono così tutte le soluzioni in cui il secondo membro è negativo. Un modo per non sbagliare è partire sempre dalla domanda: “quando il secondo membro è negativo, la disequazione è banalmente vera o banalmente falsa?”.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale
Metodi: Disequazione irrazionale casistica · Elevamento al quadrato
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni