Esempio — radice minore di una retta

Applichiamo il metodo delle tre condizioni a un caso concreto.

Esempio — $\sqrt{x^2-3x+2}\le x-1$

Sistema equivalente: $\begin{cases} x^2-3x+2\ge 0 \\ x-1\ge 0 \\ x^2-3x+2 \le (x-1)^2 \end{cases}$

Prima disequazione (CE): $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\ge 0 \implies x\le 1 \vee x\ge 2$.

Seconda disequazione: $x\ge 1$.

Terza disequazione: $x^2-3x+2\le x^2-2x+1 \implies -3x+2\le -2x+1 \implies -x\le -1 \implies x\ge 1.$

Intersezione: $\bigl(x\le 1 \vee x\ge 2\bigr) \wedge x\ge 1 \wedge x\ge 1$. La zona $x\le 1$ intersecata con $x\ge 1$ dà il solo punto $x=1$; la zona $x\ge 2$ intersecata con $x\ge 1$ dà $x\ge 2$.

Soluzione: $\boxed{\,x=1 \ \vee\ x\ge 2\,}$.

Il grafico chiarisce la situazione: la curva blu è $y=\sqrt{x^2-3x+2}$ (esiste solo per $x\le 1$ o $x\ge 2$, dove si “attacca” all’asse $x$); la retta rossa è $y=x-1$. La disequazione chiede dove la blu sta sotto o sulla rossa: a $x=1$ c’è contatto puntuale ($0\le 0$), e poi da $x=2$ in poi la retta resta sopra la radice.

La curva $y=\sqrt{x^2-3x+2}$ e la retta $y=x-1$: la soluzione è dove la radice sta sotto o sulla retta, cioè $x=1$ e $x\ge 2$.

Osservazione — Perché NON basta elevare al quadrato

Se ci limitassimo a elevare al quadrato, otterremmo $-x\le -1$, cioè $x\ge 1$: una soluzione sbagliata, perché include tutto l’intervallo $1<x<2$, dove però la radice non esiste (l’argomento è negativo). Il sistema con le tre condizioni serve proprio a impedire questo errore.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale · Elevamento al quadrato
Metodi: Disequazione irrazionale casistica
Competenze: Interpretare grafico · Risolvere disequazioni