Tipologia II — radice minore

Quando la radice sta dal lato minore, $\sqrt{A(x)}<B(x)$, la soluzione è un unico sistema di tre condizioni simultanee.

Proprietà — $\sqrt{A(x)}<B(x)$

La disequazione $\sqrt{A(x)}<B(x)$ è equivalente al sistema (tutte e tre le condizioni valgono simultaneamente): $\begin{cases} A(x) \ge 0 \\ B(x) > 0 \\ A(x) < B^2(x) \end{cases}$

Osservazione — Perché tutte e tre le condizioni

$A(x)\ge 0$ è la C.E. della radice; $B(x)>0$ è necessaria perché una quantità $\ge 0$ (la radice) non può essere minore di un numero non positivo; $A(x) < B^2(x)$ è l’elevamento al quadrato, lecito perché entrambi i membri sono $\ge 0$ sotto le due condizioni precedenti.

Esempio

$\sqrt{x^2-1}<x$.

Sistema: $\begin{cases}x^2-1\ge 0 \\ x > 0 \\ x^2-1 < x^2\end{cases}$.

• Prima: $x\le -1 \vee x\ge 1$.
• Seconda: $x>0$.
• Terza: $-1<0$, sempre vera.

Intersezione: $x\ge 1$. Soluzione: $\boxed{x\ge 1}$.

Attenzione — Il verso $\le$ e $\ge$

Le formule sopra valgono per le disuguaglianze strette ($>$ e $<$). Per le versioni non strette ($\ge$ e $\le$) basta sostituire i corrispondenti simboli negli schemi, tenendo presente che il punto in cui entrambi i membri sono zero (se c’è) diventa soluzione (prima non lo era).

Collegamenti

Argomenti: Radicali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale
Metodi: Disequazione irrazionale casistica
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni