Tipologia I — radice maggiore

Quando la radice sta dal lato maggiore, $\sqrt{A(x)}>B(x)$, la soluzione è l’unione di due casi.

Proprietà — $\sqrt{A(x)}>B(x)$

La disequazione $\sqrt{A(x)}>B(x)$ è equivalente all’unione di due casi:

• Caso (a): $B(x)<0$. Il primo membro (la radice) è $\ge 0$ quando esiste, quindi è automaticamente maggiore di un numero negativo. È sempre vera, purché la radice esista: $\begin{cases}A(x)\ge 0 \\ B(x) < 0\end{cases}$
• Caso (b): $B(x)\ge 0$. Entrambi i membri sono non negativi, quindi si può elevare al quadrato conservando il verso: $\begin{cases}B(x)\ge 0 \\ A(x) > B^2(x)\end{cases}$ (La condizione $A(x)\ge 0$ non serve esplicitamente: è implicata da $A(x)>B^2(x)\ge 0$.)

La soluzione finale è $S_a\cup S_b$.

Lo schema a due rami della Tipologia I: si risolvono i due casi e si uniscono le soluzioni.

Esempio

$\sqrt{x-1} > x-3$.

Caso (a): $\begin{cases}x-1\ge 0 \\ x-3 < 0\end{cases} \iff 1\le x<3$. Zona di soluzione $[1;\,3)$.

Caso (b): $\begin{cases}x-3\ge 0 \\ x-1 > (x-3)^2\end{cases}$. La seconda: $x-1 > x^2-6x+9 \iff x^2-7x+10 < 0 \iff 2<x<5$. Intersecando con $x\ge 3$: $3\le x<5$.

Unione: $\boxed{1\le x < 5}$.

Collegamenti

Argomenti: Radicali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale
Metodi: Disequazione irrazionale casistica · Equazione irrazionale elevamento
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni