Disequazione con moduli e quadrati (|x²-4| > |x-2|)

Testo

Risolvi la disequazione $|x^2-4|>|x-2|$.

Soluzione

Entrambi i membri sono moduli: si eleva al quadrato. Osservando che $x^2-4=(x-2)(x+2)$: $(x^2-4)^2>(x-2)^2 \iff (x-2)^2(x+2)^2-(x-2)^2>0 \iff (x-2)^2\bigl[(x+2)^2-1\bigr]>0.$ Il fattore $(x-2)^2\ge0$ si annulla in $x=2$ (dove la disuguaglianza stretta non vale). Il fattore $(x+2)^2-1=(x+1)(x+3)>0$ dà $x<-3\ \lor\ x>-1$.

Soluzione: $\boxed{x<-3\ \lor\ (x>-1\ \land\ x\neq2)}$.

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Disequazioni valore assoluto · Valore assoluto
Metodi: Valass casi misti
Competenze: Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione