Disequazione frazionaria con modulo ((|x|-1)/(x-2) ≤ 0)

Testo

Risolvi la disequazione $\dfrac{|x|-1}{x-2}\le0$.

Soluzione

Si studiano separatamente i segni del numeratore e del denominatore.

• Numeratore $|x|-1$: si annulla in $x=\pm1$; è negativo per $-1<x<1$ e positivo per $|x|>1$.
• Denominatore $x-2$: si annulla in $x=2$ (valore escluso); negativo per $x<2$, positivo per $x>2$.

La frazione è $\le0$ dove numeratore e denominatore hanno segno opposto, oppure dove il numeratore si annulla (con denominatore $\neq0$):

Intervallo	$\lvert x\rvert-1$	$x-2$	frazione
$x\le-1$	$\ge0$	$<0$	$\le0$ ✓
$-1<x<1$	$<0$	$<0$	$>0$
$1\le x<2$	$\ge0$	$<0$	$\le0$ ✓
$x>2$	$>0$	$>0$	$>0$

Soluzione: $\boxed{x\le-1\ \lor\ 1\le x<2}$.

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Disequazioni valore assoluto · Tabella dei segni · Valore assoluto
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione