Caso particolare - modulo maggiore o uguale a B(x)

Quando il modulo è maggiore di qualcosa, $|A(x)|\ge B(x)$, la scorciatoia è diversa: si distinguono i due casi in base al segno del secondo membro $B(x)$.

Proprietà — $|A(x)|\ge B(x)$

La disequazione $|A(x)|\ge B(x)$ si risolve come unione di due casi:

• Caso (a): $B(x)<0$. Un valore assoluto è sempre $\ge0$, quindi è automaticamente maggiore di un numero negativo: la disequazione è sempre vera. La soluzione del caso è $\{x:\ B(x)<0\}$.
• Caso (b): $B(x)\ge0$. Allora $|A(x)|\ge B(x)$ equivale a $A(x)\ge B(x)\ \lor\ A(x)\le-B(x)$.

Soluzione finale: unione di $S_a$ e $S_b$.

Schema per $|A(x)|\ge B(x)$: se il secondo membro è negativo la disequazione è già vera.

Esempio

$|x-1|\ge2$. Qui $A(x)=x-1$ e $B(x)=2$ è una costante positiva: il caso (a) è vuoto e resta il caso (b): $x-1\ge2\ \lor\ x-1\le-2 \iff x\ge3\ \lor\ x\le-1.$ Soluzione: $\boxed{x\le-1\ \lor\ x\ge3}$.

Esempio

$|x^2-3x|\ge x-4$. Qui $A(x)=x^2-3x$ e $B(x)=x-4$.

Caso (a): $x-4<0 \iff x<4$. In questa zona la disequazione è sempre vera, quindi $S_a=(-\infty;4)$.

Caso (b): $x\ge4$. Bisogna risolvere $x^2-3x\ge x-4\ \lor\ x^2-3x\le-(x-4)$, cioè:

• $x^2-4x+4\ge0 \iff (x-2)^2\ge0$: sempre vero;
• $x^2-2x-4\le0 \iff 1-\sqrt5\le x\le1+\sqrt5$, che intersecato con $x\ge4$ dà l’insieme vuoto.

La prima è sempre vera, quindi $S_b=[4;+\infty)$.

Unione: $S=S_a\cup S_b=\mathbb{R}$: la disequazione è sempre verificata.

Attenzione — Un errore frequente

Quando in $|A(x)|\ge B(x)$ il membro $B(x)$ è sempre non negativo (per esempio una costante positiva o una somma di quadrati), il caso (a) è vuoto e si passa direttamente al caso (b): $A(x)\ge B(x)\ \lor\ A(x)\le-B(x)$. Ma se $B(x)$ può assumere valori negativi (per esempio è un polinomio), non dimenticare il caso (a), altrimenti si perdono tutte le soluzioni in cui il secondo membro è negativo.

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Disequazioni valore assoluto · Valore assoluto
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni