Caso particolare - modulo minore o uguale a B(x)

Quando la disequazione ha la forma $|A(x)|\le B(x)$ (un modulo minore di qualcosa), c’è una scorciatoia che evita lo sdoppiamento: la si trasforma in un sistema con una doppia disuguaglianza.

Proprietà — $|A(x)|\le B(x)$

La disequazione $|A(x)|\le B(x)$ (o con $<$) equivale al sistema $\begin{cases} B(x)\ge0 \\ -B(x)\le A(x)\le B(x) \end{cases}$ dove la prima condizione $B(x)\ge0$ è necessaria: un valore assoluto, che è sempre $\ge0$, non può essere minore di un numero negativo. Se $B(x)<0$ la disequazione è impossibile.

Osservazione — Perché la doppia disuguaglianza

Sotto la condizione $B(x)\ge0$, la scrittura $|A(x)|\le B(x)$ significa ”$A(x)$ dista dallo zero non più di $B(x)$”, cioè $-B(x)\le A(x)\le B(x)$. È esattamente come risolvere $|x-3|\le5$: equivale a $-5\le x-3\le5$, da cui $-2\le x\le8$.

Esempio

$|2x-1|\le3$. Qui $A(x)=2x-1$ e $B(x)=3$ è una costante positiva, quindi la condizione $B\ge0$ è automatica. Dalla doppia disuguaglianza: $-3\le2x-1\le3 \iff -2\le2x\le4 \iff \boxed{-1\le x\le2}.$

Esempio

$|x^2-4|\le x+2$. Qui $A(x)=x^2-4$ e $B(x)=x+2$. Sistema: $\begin{cases} x+2\ge0 \\ -(x+2)\le x^2-4\le x+2 \end{cases}$

• Prima condizione: $x\ge-2$.
• Parte destra: $x^2-4\le x+2 \iff x^2-x-6\le0 \iff -2\le x\le3$.
• Parte sinistra: $-(x+2)\le x^2-4 \iff x^2+x-2\ge0 \iff x\le-2\ \lor\ x\ge1$.

Intersecando le tre condizioni si ottiene $\{x=-2\}\cup[1,3]$.

Soluzione: $\boxed{x=-2\ \lor\ 1\le x\le3}$.

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Disequazioni valore assoluto · Valore assoluto
Competenze: Risolvere disequazioni · Risolvere sistemi