Costruire una disequazione data la tabella dei segni

Testo

Inventare una disequazione (fratta) che produca la seguente tabella dei segni, dove l’ultima riga rappresenta il segno totale:

	$x<-3$	$x=-3$	$-3<x<2$	$x=2$	$2<x<4$	$x=4$	$x>4$
$f_1$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$
$f_2$	$-$	$-$	$-$	$\nexists$	$+$	$+$	$+$
$f_3$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
totale	$+$	$0$	$+$	$\nexists$	$-$	$0$	$+$

Suggerimento: $f_1$ è una retta decrescente (passa da $+$ a $-$) con zero in $-3$; $f_2$ è il denominatore (segnalato dalla doppia barra in $x=2$); $f_3$ è una retta crescente con zero in $4$.

Soluzione

Ricostruiamo i tre fattori dal loro comportamento:

• $f_1$ decrescente con zero in $-3$: $f_1 = -x-3$ (positivo per $x<-3$, negativo dopo).
• $f_2$ denominatore con caposaldo in $2$ (punto di non esistenza): $f_2 = x-2$.
• $f_3$ crescente con zero in $4$: $f_3 = x-4$.

Una possibile risposta è $\boxed{\dfrac{(-x-3)(x-4)}{x-2} \le 0}$ ovvero, equivalentemente, $\dfrac{(x+3)(x-4)}{x-2} \ge 0$.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Caposaldo · Disequazione fratta · Studio del segno · Tabella dei segni
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione