Il metodo della tabella dei segni

Le disequazioni di grado $\ge 3$ e quelle fratte si risolvono con un metodo sistematico: scomporre, trovare gli zeri di ogni fattore, costruire la tabella dei segni, leggere il risultato. La tabella dei segni è uno strumento di una potenza sorprendente: una volta imparata, qualunque disequazione razionale diventa abbordabile.

In sintesi — Metodo sistematico in 4 passi

Per risolvere una disequazione di grado superiore al primo (o fratta):

1. Porta tutto a primo membro e riduci a $\frac{N(x)}{D(x)}\gtrless 0$.
2. Se è fratta, non eliminare il denominatore; fai il denominatore comune.
3. Scomponi in fattori numeratore e denominatore: $f_1\cdot f_2\cdot\ldots$
4. Studia il segno di ciascun fattore e compila la tabella dei segni.

Osservazione — Metodo grafico per il segno di un fattore

Ad ogni fattore di primo grado $f_i = ax+b$ si associa la retta $y=ax+b$. L’intersezione con l’asse $x$ (cioè la soluzione di $ax+b=0$) si chiama caposaldo (o zero). Il segno del fattore si legge dal grafico: $+$ dove la retta sta sopra l’asse $x$, $-$ dove sta sotto.

Per un fattore di secondo grado $f_i = ax^2+bx+c$ vale lo stesso ragionamento, ma con una parabola: si applicano le sei regole del paragrafo precedente.

Attenzione — Errore frequente: "moltiplicare crociato" nelle disequazioni fratte

È sbagliatissimo trasformare $\dfrac{A}{B} > 0$ in $A\cdot B > 0$ “moltiplicando per $B$”! Il segno di $B$ non è noto. Una disequazione fratta si tratta con la tabella dei segni, mai cancellando il denominatore.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Caposaldo · Disequazione fratta · Scomposizione · Studio del segno · Tabella dei segni
Competenze: Risolvere disequazioni · Scomporre