Cardano e la formula del secondo grado

Testo

Confrontare la struttura della formula di Cardano con quella del $\Delta$ del secondo grado. Quale analogia salta all’occhio?

Soluzione

Nel secondo grado $ax^2+bx+c=0$ la soluzione è $x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad \Delta=b^2-4ac,$ mentre nel terzo grado depresso $y^3+py+q=0$ la formula di Cardano è $y = \sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{D}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{D}}, \qquad D=\Bigl(\frac q2\Bigr)^2+\Bigl(\frac p3\Bigr)^3.$ L’analogia è evidente: in entrambi i casi compare un discriminante sotto una radice ($\sqrt\Delta$ nel secondo grado, $\sqrt D$ nel terzo) il cui segno decide il numero e la natura delle soluzioni reali. Il “salto” è nel tipo di radice esterna: nel secondo grado si estrae una radice quadrata, nel terzo una radice cubica (anzi, la somma di due). Proprio come il secondo grado richiede la riduzione a forma normale, il terzo grado richiede prima la riduzione alla forma depressa. Ed è qui che, quando $D<0$, entra in scena la radice di un numero negativo: l’analogia formale spinge storicamente verso i numeri immaginari.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Discriminante · Discriminante cubica · Equazione terzo grado
Competenze: Ragionare per casi
Persone: Gerolamo Cardano
Tipo di esercizio: Problema verbale