La stellina frattale

Aggiungendo a ogni passo triangolini sempre più piccoli sui lati della figura, si ottiene un contorno frattale la cui area totale converge, ancora una volta grazie a una serie geometrica.

Esempio — Stellina frattale

Partendo da un triangolo equilatero di lato $\ell$, si costruiscono sui punti medi dei lati tre triangolini equilateri di lato $\ell/3$ (rivolti verso l’esterno), formando una stella. Il processo si ripete su ogni nuovo lato.

Primo passo della costruzione della stellina frattale: sul triangolo di lato $\ell$ crescono tre triangolini di lato $\ell/3$.

Ad ogni passo si aggiungono $3\cdot 4^{n-1}$ triangolini di lato $\ell/3^n$. L’area aggiunta al passo $n$ è: $\Delta A_n = 3\cdot 4^{n-1}\cdot\frac{(\ell/3^n)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}\,\ell^2}{4}\cdot\frac{4^{n-1}}{9^n}.$ L’area totale della stella dopo infiniti passi converge (serie geometrica con $r=4/9<1$).

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Frattale · Serie geometrica
Competenze: Modellizzare · Usare formule