Come si calcola una frazione continua

Esiste un algoritmo semplice per ricavare la frazione continua di un qualunque numero positivo, basato sull’estrazione ripetuta della parte intera.

Osservazione — Algoritmo per calcolare la frazione continua di un numero

Dato $\alpha>0$, scrivi $\alpha = a_0 + \beta_0$ con $a_0=\lfloor\alpha\rfloor$ parte intera e $\beta_0\in[0,1)$. Se $\beta_0\ne 0$, considera $1/\beta_0$ e ripeti: $1/\beta_0 = a_1 + \beta_1$, e così via. Per $\alpha\in\mathbb{Q}$ il processo termina; per $\alpha\notin\mathbb{Q}$ va avanti all’infinito. Lo sviluppo è periodico se e solo se $\alpha$ è un irrazionale quadratico (radice di un’equazione di secondo grado a coefficienti razionali), risultato dimostrato da Lagrange (cfr. Stillwell, cap. 5).

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Algoritmo · Frazione continua · Irrazionale quadratico
Competenze: Usare formule
Persone: Joseph-Louis Lagrange