La frazione continua di radice di 2

Anche $\sqrt 2$ si può scrivere come frazione continua periodica, e le sue troncate danno le migliori approssimazioni razionali del numero.

Esempio — Frazione continua di $\sqrt 2$

Cerchiamo $x>0$ con $x^2=2$, cioè $x = 1 + \dfrac{x^2-1}{x+1} = 1 + (x-1)$. Riscriviamo $x-1 = \dfrac{1}{x+1}$ ottenendo $x = 1 + \frac{1}{1+x}.$ Sostituendo $x$ a destra a ogni passo: $\sqrt 2 = 1 + \cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}.$ Tutti $2$ dopo la prima cifra: $1,2,2,2,\ldots$. Le convergenti successive sono $1,\ 3/2,\ 7/5,\ 17/12,\ 41/29,\ 99/70,\ldots$ (rapporti dei numeri di Pell); ognuna è la migliore approssimazione razionale di $\sqrt 2$ con denominatore minore o uguale a quello dato. Verifica: $99/70 = 1{,}41428\ldots$ contro $\sqrt 2 = 1{,}41421\ldots$ (errore $<10^{-4}$).

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Convergenti · Frazione continua · Numeri di pell
Competenze: Risolvere equazioni · Stimare