Relazioni di equivalenza e classi

Le relazioni di equivalenza “raggruppano” gli elementi che condividono una proprietà. Ogni elemento $a$ identifica la sua classe di equivalenza $[a]=\{x\in A : x\mathbin{R} a\}.$ L’insieme delle classi forma una partizione di $A$: ogni elemento appartiene a esattamente una classe.

Esempio — Resto della divisione per $3$

Su $\mathbb{Z}$ poniamo $a\mathbin{R} b$ se $a-b$ è multiplo di $3$. È una relazione di equivalenza (si verificano le tre proprietà). Le classi sono tre: $[0]=\{\ldots,-3,0,3,6,\ldots\},\quad [1]=\{\ldots,-2,1,4,7,\ldots\},\quad [2]=\{\ldots,-1,2,5,8,\ldots\}.$ Ogni intero appartiene a una sola classe, individuata dal resto ($0$, $1$ o $2$) nella divisione per $3$. È il primo passo dell’aritmetica modulare.

Collegamenti

Argomenti: Teoria degli insiemi
Concetti: Classe di equivalenza · Partizione · Relazione di equivalenza