Semplificare riconoscendo i prodotti notevoli

Il modo più efficace per semplificare una frazione algebrica è riconoscere i prodotti notevoli “nascosti” nei suoi polinomi. Una volta scomposti numeratore e denominatore, i fattori comuni si eliminano e l’espressione diventa molto più semplice.

Esempio

$\frac{8x^3+12x^2+6x+1}{4x^2+4x+1} - \frac{4x^2+4x+1}{8x^3+12x^2+6x+1} = 0$ Riconosciamo i cubi e i quadrati di binomio: $8x^3+12x^2+6x+1 = (2x+1)^3, \qquad 4x^2+4x+1 = (2x+1)^2.$ C.E.: $x\neq -\dfrac{1}{2}$. $\begin{aligned} \frac{(2x+1)^3}{(2x+1)^2} - \frac{(2x+1)^2}{(2x+1)^3} &= 0 \\[4pt] (2x+1) - \frac{1}{2x+1} &= 0 \end{aligned}$

Dopo la semplificazione l’espressione di partenza, apparentemente complicata, si riduce a una relazione elementare tra $2x+1$ e il suo reciproco.

Collegamenti

Argomenti: Frazioni algebriche
Concetti: Condizioni di esistenza · Frazione algebrica · Prodotti notevoli · Semplificazione
Competenze: Scomporre · Semplificare